Антон Путило родился в Орше в 1987 году. Воспитанник Оршанской ДЮСШ, первым тренером был отец Константин Путило.
Профессиональную карьеру Антон начал в Минском "Динамо" в 2004 году: выступал за дубль и дебютировал в чемпионате Беларуси. В 2005 году вошёл в основной состав команды.
Через два года он находился на просмотре в "Гамбурге", тренировался и участвовал в спаррингах с любительской и второй командой клуба, а с основной провёл несколько тренировок. В итоге было решено, что Антон будет выступать за немецкий клуб на правах аренды на протяжении года с правом выкупа.
Дебют за "Гамбург" в Бундеслиге произошёл в январе 2008 года в домашнем матче против "Бохума", где Антон вышел на замену на 81-й минуте. За год в чемпионате Германии он выходил на поле всего три раза. До конца срока аренды в Гамбурге, где на Путило больше не рассчитывали, он побывал на просмотре в Московском Локомотиве, но до конкретных предложений дело не дошло. В межсезонье Антон вернулся назад в Динамо, которому принадлежал по контракту ещё на протяжении двух лет.
В августе 2010 года Путило перешёл в "Фрафйбург", в дебютном сезоне за который в чемпионате провёл 25 матчей и выделился отличными передачами, завершившимися двумя голами.
В национальной сборной Беларуси Антон дебютировал в 2008 году на XVI международном турнире национальных сборных на Мальте в матче со сборной Армении (1:2). Первый мяч забил в ворота сборной Армении в товарищеском матче в 2010 году в турецкой Анталии (3:1). В том же году в товарищеском матче в австрийском Филахе с "Гондурасом" (2:2) дважды заставил голкипера соперников вынимать мяч из ворот. В матче отборочного турнира чемпионата Европы по футболу 2012 года забил гол в ворота "Люксембурга" (2:0) в Минске.
Полузащитник "Фрайбурга" и национальной сборной Беларуси Антон Путило уже давно травмированный. Возможно, в сезоне 2013 г. болельщики больше не увидят его на поле. Хотя сам футболист с такими выводами не торопится. Он считает, что специальные бутсы уменьшат нагрузку на повреждённую пятку.
Сравнивая два сезона, проведённые в "Фрайбурге", Антон отметил, что дебютный сезон для него был тяжёлым, нужно время на адаптацию. Надо выкладываться на поле на сто процентов.
Антон Путило - на сегодняшний день единственный белорус, который представляет страну в топовом европейским чемпионате.