Родился в Орше, в семье дантиста Савелия Ласкина. Первоначально семья Ласкиных жила в доме на перекрёстке сегодняшних улиц Ленина и Комсомольская. Дом находился на месте городского парка. С 1919 по 1922 годы семья переехала по адресу ул. Минская д. 26 (здание не сохранилоь).
Когда Борису исполнилось 8 лет, овдовевшая мать перевезла семью к своей родне в Москву. Где по-первому времени они жили в здании бывшей корчмы на Таганке. Ещё школьником начал писать первые стихи, которые печатались в журналах "Смена" и "Пионер". В 20 лет устраивается на киностудию Мосфильм шумовиком, где и увлёкся кинематографом. Поступил во Всеросийский институт кинематографии на сценаристский факультет, который закончил в 1935 году.
Первая общесоветская известность пришла к Ласкину в 1939 году, благодаря, написанному тексту песни "Три танкиста" для фильма "Трактористы" режиссёра И. Пырьева. В 1940 году в виде песни выходит его очередной текст "Спят курганы тёмные" для фильма Л.Лукина "Большая жизнь".
Во время войны Ласкина не взяли в армию по причине туберкулёза лёгких. Поэтому он работал на разных киностудиях как сценарист и автор песен для "боевых книгосборников". В этот период особую известность получили песни его авторства "Ночь над Белградом тёмная", "Василий Васильевич", "Чудо-коса" и др. В 1943 году в Ташкенте выходит первая книга Ласкина "Песни".
В последние годы войны получает известность как автор юмористических рассказов. Сотрудничает с газетой "Красная звезда", где печатается в рубрике "Весёлые рассказы", в цикле "В 6 часов после войны". Наиболее известные рассказы этого периода: "Свидание", "Страшная месть", "Зенитные комары".
После войны активно занимается драматургией. Чтобы написать пьесу "Небесное создание" выезжает в творческую командировку на фронт в 46-й гвардейский Таманский авиаполк, где некоторое время проживал. Премьера произошла летом 1945 года в театре Ленинского комсомола. Пишет Борис Савельевич преимущественно комедии. Первым полноформатным киносценарием для его стал "Весенние голоса" в 1955 году. При этом продолжает писать и в других жанрах. В этом же гоу выходит вторая книга юмористических рассказов "В жизни так случается". В 60-е годы выходит пьеса "Время любить".
Совместно с А. Галичем пишет киносценарий "Дайте книгу жалоб". Позже с В. Поляковым создаёт сценарий фильма "Карнавальная ночь", оба фильма стали классикой советского кинематографа. В 70-е годы для Ласкина начинается период экспериментов. Он начинает писать произведения не юмористического характера, а как сам выражался "на улыбку". Пробует другие жанры, в том числе пишет всё произведение без знаков препинания.
Ласкин неоднократно бывал в Орше. Во время своего последнего визита он нашёл дом в котором жил в детстве. Про этот случай автор рассказывал таким образом? "Нашёл дом, подхожу, остановился, смотрю - мужчина бреется, увидел меня и через форточку: "Что здесь забыл?". Отвечаю: "Детство своё забыл".
Ласкин автор большого количества произведений. При его жизни выпущено более 20 книг юмористической прозы, по его сценариям вышло более 10 фильмов, поставлена большое количество спектаклей. Отдельные рассказы и целые книги переводились на немецкий, японский и английский языки.
Последняя книга вышла после смерти автора в 1990 году "Избранное".