Антон Пуціла нарадзіўся ў Оршы ў 1987 годзе. Выхаванец Аршанскай ДЮСШ, першым трэнерам быў бацька Канстанцін Пуціла.
Прафесійную кар'еру Антон пачаў у мінскім “Дынама” ў 2004 годзе: выступаў за дубль і дэбютаваў у чэмпіянаце Беларусі. У 2005 годзе ўвайшоў у асноўны састаў каманды
Праз два гады ён знаходзіўся на праглядзе ў “Гамбургу”, трэніраваўся і ўдзельнічаў у спарынгах з аматарскай і другой камандай клуба, а з асноўнай правёў некалькі трэніровак. У выніку было вырашана, што Антон будзе выступаць за нямецкі клуб на правах арэнды напрацягу года з правам выкупу.
Дэбют за “Гамбург” у Бундэслізе адбыўся ў студзені 2008 года ў дамашнім матчы супраць “Бохума”, дзе Антон выйшаў на замену на 81-й хвіліне. За год у чэмпіянаце Германіі ён выходзіў на поле ўсяго тры разы. Да канца тэрміну арэнды ў “Гамбургу”, дзе на Пуцілу больш не разлічвалі, ён пабываў на праглядзе ў маскоўскім “Лакаматыве”, але да канкрэтных прапаноў справа не дайшла. У міжсезонне Антон вярнуўся назад у “Дынама”, якому належыў па кантракце яшчэ на працягу двух год.
У жніўні 2010 года Пуціла перайшоў у “Фрайбург”, у дэбютным сезоне за які ў чэмпіянаце правёў 25 матчаў і вызначыўся выдатнымі перадачамі, завяршыўшыміся двума галамі.
У нацыянальнай зборнай Беларусі Антон дэбютаваў у 2008 годзе на ХVI міжнародным турніры нацыянальных зборных на Мальце ў матчы са зборнай Арменіі (1:2). Першы мяч забіў у вароты зборнай Арменіі ў таварыскім матчы ў 2010 годзе ў турэцкай Анталлі (3:1). У тым жа годзе ў таварыскім матчы ў аўстрыйскім Філаху з “Гандурасам” (2:2) двойчы прымусіў галкіпера сапернікаў вымаць мяч з варотаў. У матчы адборачнага турніру чэмпіянату Еўропы па футболу 2012 года забіў гол у вароты “Люксембурга” (2:0) у Мінску.
Паўабаронца “Фрайбургу” і нацыянальнай зборнай Беларусі Антон Пуціла ўжо даўно траўміраваны. Магчыма, у сезоне 2013 г. балельшчыкі больш не ўбачаць яго на полі. Хаця сам футбаліст з такімі вывадамі не спяшаецца. Ён лічыць, што спецыяльныя бутсы зменшаць нагрузку на пашкоджаную пятку.
Параўноўваючы два сезоны, праведзеныя ў “Фрайбургу”, Антон адзначыў, што дэбютны сезон для яго быў цяжкі, патрэбны час на адаптацыю. Трэба выкладвацца на полі на ўсе сто працэнтаў.
Антон Пуціла – на сёняшні дзень адзіны беларус, які прадстаўляе краіну ў топавым еўрапейскім чэмпіянаце.